تسلسل هندسي:
تُعرف التسلسل الهندسي بأنه تسلسل من الأرقام حيث يكون نسبة الرقم التالي إلى الرقم السابق ثابتة وتُعرف بالنسبة المشتركة. يُمكن كتابة العنصر العام باستخدام الصيغة التالية:
[ a_n = a_1 \times r^{n-1} ]
حيث ( a_n ) هو العنصر العام، ( a_1 ) هو العنصر الأول، ( r ) هو النسبة المشتركة، و ( n ) هو المؤشر.
مثال:
لنجد المعادلة العامة للتسلسل الهندسي: ( 3, 6, 12, 24, 48, \ldots )
نرى أن النسبة المشتركة ( r = \frac{6}{3} = 2 )، إذاً العنصر العام ( a_n = 3 \times 2^{n-1} ). لنحسب العنصر العاشر كمثال:
[ a_{10} = 3 \times 2^{10-1} = 3 \times 2^9 = 1536 ]
مجموع تسلسل هندسي:
تُعرف مجموع تسلسل هندسي على أنه مجموع العناصر في تسلسل هندسي. يُمكن حساب المجموع الجزئي لأول ( n ) عنصر باستخدام الصيغة:
[ S_n = \frac{a_1 \times (1 - r^n)}{1 - r} ]
حيث ( S_n ) هو مجموع أول ( n ) عنصر، ( a_1 ) هو العنصر الأول، ( r ) هو النسبة المشتركة.
مجموع تسلسل هندسي لا نهائي:
إذا كانت النسبة المشتركة ( |r| < 1 )، فيمكن حساب مجموع التسلسل الهندسي لا نهائي باستخدام الصيغة:
[ S_\infty = \frac{a_1}{1 - r} ]
مثال:
لنجد مجموع التسلسل الهندسي اللامتناهي: ( \frac{3}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{18} + \frac{1}{54} + \ldots )
نرى أن النسبة المشتركة ( r = \frac{1}{3} ) (وهي كسر بين (-1) و (1))، لذا يمكننا استخدام الصيغة لحساب المجموع:
[ S_\infty = \frac{\frac{3}{2}}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{\frac{3}{2}}{\frac{2}{3}} = \frac{9}{4} ]
إذا كنت بحاجة إلى مزيد من المحتوى أو لديك أي طلبات خاصة، فأنا هنا للمساعدة.